Question

（2013•順義區一模）已知關于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0
（1）求證：無論m取任何實數時，方程恒有實數根．
（2）若關于x的二次函數y=mx²-（3m+2）x+2m+2的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為正整數，且m為整數，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）因為方程的類型不確定，所以要分兩種情況討論：當m=0時和m≠0時分別證明即可；
（2）令y=0，則mx²-（3m+2）x+2m+2=0，則可求出方程的解，即與x軸交點的橫坐標，再根據已知條件即可求出m的值，進而求出拋物線的解析式．

解答：（1）證明：
①當m=0時，方程為-2x+2=0，所以x=1，方程有實數根；
②當m≠0時，△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）
=9m²+12m+4-8m²-8m
=m²+4m+4
=（m+2）²≥0，
所以，方程有實數根．
綜①②所述，無論m取任何實數時，方程恒有實數根；

（2）解：令y=0，則mx²-（3m+2）x+2m+2=0，
解關于x的一元二次方程，得x₁=1，x₂=2+

2

m

，
二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為正整數，且m為整數，
所以m只能取1，2，
所以拋物線的解析式為y=x²-5x+4或y=2x²-8x+6．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，熟悉根的判別式及二次函數與一元二次方程的關系是解題的關鍵．