Question

【題目】如圖1，已知AD∥BC，∠B=∠D．

（1）求證：AB∥CD；

（2）如圖2，點E為BA延長線上一點，∠EAD與∠BCD的角平分線交于點P．

①求∠APC的度數；

②連接DP，若∠PDC=750，則∠DPC-∠B=________．

Answer 1

【答案】90°

【解析】

（1）根據平行線的性質和判定結合已知條件進行分析證明即可；

（2）①如圖3，過點P作PF∥AB，結合已知條件易得∠EAP=∠APF，∠DCP=∠CPF，從而可得∠APC=∠EAP+∠DCP，由已知易得∠EAD=∠B，∠B+∠BCD=180°，進而可得∠EAD+∠BCD=180°，結合AP平分∠EAD，CP平分∠BCD即可得到∠APC=∠EAP+∠DCP=90°；②如圖4，延長DP交BA的延長線于點M，由已知易得I、∠MPA+∠APF=75°，由∠APC=90°可得II、∠MPA+∠DPC=90°，再證∠APF=∠B，即可由I-II得到所求結果.

（1）∵AD∥BC，

∴∠ A+∠ B=180°，

∵∠ B=∠ D，即∠ A+∠ D =180°，

∴ AB∥CD；

（2）①過點P作直線PF∥AB，

∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，

∴∠EAD=∠B，∠B+∠BCD=180°，AB∥PF∥CD，

∴∠EAD+∠BCD=180°，

∵AP平分∠EAD，CP平分∠BCD，

∴∠EAP=∠EAD，∠DCP=∠BCD，

∴∠EAP+∠DCP=(∠EAD+∠BCD)=90°，

∵AB∥PF∥CD，

∴∠APF=∠EAP，∠CPF=∠DCP，

∴∠APC=∠APF+∠CPF=∠EAP+∠DCP=90°，即∠APC=90°；

②如圖4，延長DP交BA的延長線于點M，

∵AB∥PF∥CD，

∴∠APF=∠EAP=∠EAD=∠B，∠MPA+∠APF=∠MPF=∠PDC=75°，

∵∠APC=90°，

∴∠MPA+∠DPC=90°，

∴(∠MPA+∠DPC)-(∠MPA+∠APF)=90°-75°=15°，

∴∠DPC-∠APF=15°，

∴∠DPC-∠B=15°.