Question

【題目】取一副三角板按圖1拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A依順時針方向旋轉一個大小為α的角 （0°＜α≤45°）得到△ABC′，如圖所示．試問：

（1）當α為多少度時，能使得圖2中AB∥DC．

（2）連接BD，當0°＜α≤45°時，探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小沒有變化, 總是105°.

【解析】

（1）要使AB∥DC，只要證出∠CAC′=15°即可．

（2）當0°＜α≤45°時，總有△EFC′存在．根據三角形外角的性質和三角形內角和定理即可得出結論．

（1）由題意∠CAC′=α，要使AB∥DC，須∠BAC=∠ACD，∴∠BAC=30°，∴α=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=45°﹣30°=15°，即α=15°時，能使得AB∥DC．

（2）連接BD，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小沒有變化，總是105°．理由如下：

當0°＜α≤45°時，總有△EFC′存在．

∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α．

又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°．

又∵∠C′=45°，∠C=30°，∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．