Question

【題目】已知，如圖，平分交于點，點、分別是、的中點，連接，且.

(1) 求證:；

(2)連接，若，，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】

（1）由平行線的性質和角平分線的概念可得BE=DE，易證四邊形DEFC是平行四邊形，可得DE=CF，等量代換即可得出結論；

（2）易證四邊形BEDF是平行四邊形，再由BE=DE證得四邊形BEDF是菱形，由等腰三角形“三線合一”可得BD⊥EF，根據勾股定理求得BD，根據三角形中位線定理求得EF，根據菱形的面積公式即可得出答案.

（1）證明：∵DE∥BC，

∴∠DBC=∠BDE，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD=∠DBC，

∴∠BDE=∠EBD，

∴BE=DE，

∵E、F是AB、BC的中點，

∴EF∥AC，

∵DE∥BC，

∴四邊形DEFC是平行四邊形，

∴DE=CF，

∴BE=CF；

（2）∵AB=BC=5，BD平分∠ABC，

∴BD⊥AC，CD=AC=3.

在Rt△BDC中，

BD==4.

∵E、F是AB、BC的中點，

∴EF=AC=3.

∵F是BC中點，

∴BF=CF，

∴DE=BF，DE∥BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

又∵BE=DE，

∴四邊形BEDF是菱形，

∴S菱形BEDF=BD·EF

=×4×3

=6.