Question

【題目】新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．

（1）初步嘗試：如圖1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，請用直尺和圓規將它分成兩個三角形，使它們成為偏等積三角形，請保留作圖痕跡．

（2）理解運用：請在圖2的方格紙中，畫兩個面積為2的三角形，使這兩個三角形是偏等積三角形．

（3）綜合應用：如圖3，已知△ACD為直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD為腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB=∠DAE=90°，連結BE，求證：△ACD與△ABE為偏等積三角形．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）尺規作圖找出AC的中點D，連結BD，則△BAD和△BCD為偏等積三角形．

（2）利用“友好三角形”的定義得出，△ABC與△DEF為“友好三角形”．

（3）過點B作BH⊥AE，垂足為H，先證明△ABH≌△ACD，則CD=HB．，依據三角形的面積公式可知S△ABE=S△CDA，然后再依據偏等積三角形的定義進行證明即可．

（1）如圖1所示，△ABD和△BCD是偏等積三角形；

（2）如圖2所示，△ABC和△DEF是偏等積三角形；

（3）如圖3所示：過點B作BH⊥AE，垂足為H．

∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB=∠DAE=90°，

∴∠HAC+∠DAC=90°，∠BAH+∠HAC=90°．

∴∠BAH=∠DAC．

在△ABH和△ACD中

∵，

∴△ABH≌△ACD（AAS），

∴BH=CD，

∵S△ABE=BHAE，S△ACD=ADCD，

∵AE=AD，CD=BH，

∴S△ABE=S△ACD，

又由圖知，這兩個三角形不全等，

∴△ACD與△ABE為偏等積三角形．