Question

【題目】已知銳角△ABC內接于O，AD⊥BC.垂足為D.

(1)如圖1,若，BD=DC，求∠B的度數.

(2)如圖2,BE⊥AC,垂足為E,BE交AD于點F,過點B作BG∥AD交⊙O于點G，在AB邊上取一點H，使得AH=BG；

①連接CG，試探究∠ABC，∠ACG的數量關系，并給予證明.

②求證：△AFH是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）60o;（2）①∠ABC+∠ACG=90°;②⊿AFH是等腰三角形.

【解析】

（1）先根據=,可知AB=BC，再由AD⊥BC，BD=DC可知AD是線段BC的垂直平分線，故AB=AC，由此可知△ABC是等邊三角形，故可得出結論；
（2）①連接GC，GA，根據得到GC為⊙O的直徑，根據圓周角定理得到即可求出∠ABC，∠ACG的數量關系.

②根據BG⊥BC可知GC是 O的直徑，故∠GAC=90°，由此可判斷出四邊形GBFA是平行四邊形，由平行四邊形的性質即可得出結論．

(1)∵=,

∴AB=BC.

∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AD是線段BC的垂直平分線，

∴AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60o；

(2)連接GC，GA，

①∵BG⊥BC，

∴GC是O的直徑，

∴

②∵BE⊥AC，

∴

∴AG∥BE.

∵AD⊥BC，

∴

∴BG∥AD，

∴四邊形GBFA是平行四邊形，

∴BG=AF.

∵BG=AH，

∴AH=AF，

∴△AFH是等腰三角形.