Question

【題目】【問題情境】

已知矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？

【數學模型】

設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數表達式為y=2（x+ ）（x＞0）．

【探索研究】

小彬借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數y=x+的圖象性質．

（1）結合問題情境，函數y=x+ 的自變量x的取值范圍是x＞0，下表是y與x的幾組對應值．

① 寫出m的值；

②畫出該函數圖象，結合圖象，得出當x=________時，y有最小值，y最小=________；

提示：在求二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．試用配方法求函數y=x+ （x＞0）的最小值，解決問題（2）．

（2）【解決問題】

直接寫出“問題情境”中問題的結論．

Answer 1

【答案】（1）①4；②1；2；（2）矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為時，它的周長最小，最小值是．

【解析】試題分析：（1）①由題意易求出m的值，②觀察函數圖像可知，利用完全平方公式將函數解析式進行配方，即可得到函數的最小值．

（2）根據完全平方公式將函數解析式進行配方，即可求出結果．

試題解析：解：（1）①由題意m=4；

②函數y=x+的圖象如圖：

y=x+==

∵x＞0，所以≥0，

所以當x=1時， 的最小值為0，

∴當x=1時，函數y=x+（x＞0）的最小值是2．

（2）∵y==，∴當時，即x=時，y的值最小，最小值為．

答：矩形的面積為a，當矩形的長為時，它的周長最小，最小值為．