Question

（2013•昆明）如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F，交AD，BC于點M，N．下列結論：
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④△POF∽△BNF；⑤當△PMN∽△AMP時，點P是AB的中點．
其中正確的結論有（　　）

A．5個

B．4個

C．3個

D．2個

Answer 1

分析：依據正方形的性質以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵在△APE和△AME中，

∠BAC=∠DAC AE=AE ∠AEP=∠AEM

，
∴△APE≌△AME，故①正確；
∴PE=EM=

1

2

PM，
同理，FP=FN=

1

2

NP．
∵正方形ABCD中AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE
∴四邊形PEOF是矩形．
∴PF=OE，
∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=

1

2

PM，FP=FN=

1

2

NP，OA=

1

2

AC，
∴PM+PN=AC，故②正確；
∵四邊形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
在直角△OPF中，OF²+PF²=PO²，
∴PE²+PF²=PO²，故③正確．
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④錯誤；
∵△AMP是等腰直角三角形，當△PMN∽△AMP時，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM=PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，
∴AP=BP，即P時AB的中點．故⑤正確．
故選B．

點評：本題是正方形的性質、矩形的判定、勾股定理得綜合應用，認識△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形是關鍵．