Question

【題目】（1）（問題發現）

如圖1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，延長CA到點F，使得AF＝AC，連接DF、BE，則線段BE與DF的數量關系為　 　，位置關系為　 　；

（2）（拓展研究）

將△ADE繞點A旋轉，（1）中的結論有無變化？僅就圖（2）的情形給出證明；

（3）（解決問題）

當AB＝2，AD＝，△ADE旋轉得到D，E，F三點共線時，直接寫出線段DF的長．

Answer 1

【答案】（1）DF＝BE，DF⊥BE；（2）詳見解析；（3）DF＝+1或﹣1

【解析】

（1）通過證明△ABE≌△AFD，可得DF＝BE，DF⊥BE；

（2）通過證明△ADF≌△AEB，可得DF＝BE，DF⊥BE；

（3）分點D在AB左側和右側兩種情況討論，由等腰直角三角形的性質和勾股定理可求FH的長，即可求DF的長．

（1）延長FD交BE于點M

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形

∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝90°＝∠FAD

∵AF＝AC

∴AF＝AB，且AD＝AE，∠BAE＝∠DAF＝90°

∴△ABE≌△AFD（SAS）

∴FD＝BE，∠F＝∠ABE，

∵∠ABE+∠AEB＝90°

∴∠F+∠AEB＝90°

∴∠FME＝90°

∴FD⊥BE

故答案為：DF＝BE，DF⊥BE

【拓展研究】

（2）

∵∠BAC＝90°＝∠EAD

∴∠DAF＝∠EAB＝90°+∠EAF

在△ADF 和△AEB 中

∴△ADF≌△AEB

DF＝BE，∠F＝∠EBA

設 CF 和 BE 相交于點 H，則∠EHF＝∠CHB

∵∠BAC＝∠DAE＝90°

∴∠EBA+∠CHB＝90°

∴∠F+∠EHF＝90°

∴DF⊥BE

（3）當點D在AB的左側，

如圖，過點A作AH⊥EF于點H，

∵△ADE是等腰直角三角形，AD＝AE＝，AH⊥EF

∴DE＝2，AH＝DH＝DE＝1

∵FH＝＝

∴FD＝FH﹣DH＝﹣1

當點D在AB右側，

如圖，過點A作AH⊥EF于點H，

同理可求：FH＝

∴FD＝FH+HD＝+1

綜上所述：DF＝+1或﹣1