Question

【題目】如圖，△ABC與△CDE為等腰直角三角形，∠BAC=∠DEC=90°，連接AD，取AD中點P，連接BP，并延長到點M，使BP=PM，連接AM、EM、AE，將△CDE繞點C順時針旋轉．

（1）如圖①，當點D在BC上，E在AC上時，AE與AM的數量關系是______，∠MAE=______；

（2）將△CDE繞點C順時針旋轉到如圖②所示的位置，（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

（3）若CD=BC，將△CDE由圖①位置繞點C順時針旋轉α（0°＜α＜360°），當ME=CD時，請直接寫出α的值．

Answer 1

【答案】（1）AM=AE ， 45°；（2）成立，見解析；（3）α的值為60°或300°．

【解析】

（1）證明四邊形ABDM是平行四邊形即可解決問題．

（2）如圖2中，連接BD，DM，BD交AC于點O，交AE于G．證明△BCD∽△ACE，推出∠CBD=∠CAE，=，即可解決問題．

（3）如圖2中，首先證明△AEM是等腰直角三角形，分兩種情形畫出圖形分別求解即可．

解：（1）結論：AM=AE，∠MAE=45°．

理由：如圖1中，

∵AP=PD，BP=PM，

∴四邊形ABDM是平行四邊形，

∴AM∥BC，

∴∠MAE=∠C，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠C=45°，

∴∠MAE=45°，

∵∠AEM=∠DEC=90°，

∴∠AME=∠EAM=45°，

∴MA=AE．

故答案為：AM=AE，45°．

（2）如圖2中，連接BD，DM，BD交AC于點O，交AE于G．

∵BC=AC，CD=CE，

∴=，

∵∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠BCD=∠ACE，

∴△BCD∽△ACE，

∴∠CBD=∠CAE，=，

∴BD=AE，

∵∠BOC=∠AOG，

∴∠AGO=∠BCO=45°，

∵AP=PD，BP=PM，

∴四邊形ABDM是平行四邊形，

∴AM∥BD，AM=BD=AE，

∴∠MAE=∠BGA=45°，

∵EH⊥AM，

∴△AHE是等腰直角三角形，

∴AH=AE，∵AM=AE，

∴AH=MH，

∴EA=EM，

∴∠EAM=∠EMA=45°，

∴∠AEM=90°．

（3）如圖2中，作EH⊥AM于H．

∵EH⊥AM，∠MAE=45°，

∴△AHE是等腰直角三角形，

∴AH=AE，∵AM=AE，

∴AH=MH，

∴EA=EM，

∴∠EAM=∠EMA=45°，

∴∠AEM=90°．

如圖3-1中，

∵EM=EA=CD，設CD=a，則CE=a，BC=2a，AC=2a，EA=a，

∴AC2=AE2+EC2，

∴∠AEC=90°，

∴tan∠ACE==，

∴∠ACE=60°，

∴旋轉角α=60°．

如圖3-2中，同法可證∠AEC=90°，∠ACE=60°，此時旋轉角α=300°．

綜上所述，滿足條件的α的值為60°或300°．