Question

19、已知關于x的一元二次方程x²-mx-2=0．
（1）若-1是方程的一個根，求m的值和方程的另一根；
（2）證明：對于任意實數m，函數y=x²-mx-2的圖象與x軸總有兩個交點．

Answer 1

分析：（1）由于-1是方程的一個根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后解方程可以求出方程的另一根；
（2）證明對于任意實數m，函數y=x²-mx-2的圖象與x軸總有兩個交點，就是證明函數的判別式是一個正數即可．

解答：解：（1）∵-1是方程的一個根，
∴m=1，
將m=1代入方程得x²-x-2=0，
解之得x₁=-1，x₂=2．
∴方程的另一個根是2；

（2）∵△=m²-4×1×（-2）=m²+8，
∵無論m取任意實數，都有m²≥0，
∴m²+8＞0，
∴函數y=x²-mx-2的圖象與x軸總有兩個交點．

點評：此題的第一小題考查了方程的根的定義，把方程的根代入原方程就可以確定待定系數m的值，然后解方程就可以求出方程的另一個根；第二小題考查的是二次函數與x軸交點情況與判別式的關系，證明判別式是正數即可解決問題．