Question

【題目】在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足為M，點C是BM延長線上一點，連接AC.

(1)如圖①，若AB＝3,BC＝5，求AC的長；

(2)如圖②，點D是線段AM上一點，MD＝MC，點E是△ABC外一點，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF＝∠CEF.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM＝２，再由勾股定理可求出AC的長；

（２）延長EF到點G，使得FG=EF，證ΔBMD≌ΔANC得AC=BD，再證ΔBFG≌ΔCFE得BG=CE，∠G=∠E,從而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E.

試題解析：（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，

∴AM=BM=ABcos45°=3×=3，

則CM=BC﹣BM=5﹣2=2，

∴AC=；

（2）延長EF到點G，使得FG=EF，連接BG．

由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，

∴△BMD≌△AMC（SAS），

∴AC=BD，

又CE=AC，

因此BD=CE，

由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，

∴△BFG≌△CFE，

故BG=CE，∠G=∠E，

所以BD=BG=CE，

因此∠BDG=∠G=∠E．

考點:1.全等三角形的判定與性質；2.勾股定理.