Question

【題目】已知如圖，矩形ABCD的周長為64，AB=12，對角線AC的垂直平分線分別交AD、BC于E、F，連接AF、CE、EF，且EF與AC相交于點O．

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）求S△ABF與S△AEF的比值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8：17．

【解析】

（1）根據SSS證明△AOE≌△COF，根據全等得出OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據EF⊥AC即可推出四邊形是菱形；
（2）由（1）知S△AEF=S△ACF，再分別求得S△ABF與S△AEF的面積即可得到其比值．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF．

∵EF垂直平分AC，

∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴OE=OF，

∴四邊形AFEC是平行四邊形，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AFEC是菱形；

（2）∵△AOE≌△COF，

∴S△AEF=S△ACF

∵S△ABF=3BF，S△AEF=3FC，

∴S△ABF：S△AEF=BF：FC．

∵矩形ABCD的周長為64，AB=12，

∴BC=20，

設FC=x，則AF=x，BF=20﹣x

在Rt△ABF中，由勾股定理

　122+(20﹣x)2=x2

解得：x，

BF，

∴S△ABF：S△AEF=BF：FC=8：17．