Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E為AB邊上一點，過點E作EF⊥AB交對角線BD于點F．連接EC交BD于點G．取DF的中點H，并連接AH．若AH=，EG=，則四邊形AEFH的面積為___．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，連接HE，HC，作HM⊥AB于M，延長MH交CD于N．證明△ADH≌△CDH，得到AH=CH=，證明四邊形AMND是矩形，得到AM=DN，進而得到EM=HN，

證明Rt△HME≌Rt△CNH，得到∠MHE=∠HCN，設EF=BE=4a，則BC=AB=10a，AE=6a，AM=ME=3a，根據EF∥HM，得到=，進而得到HM=7a，進而求出S四邊形AEFH

，在Rt△BEC中，根據勾股定理得到16a2+100a2=4，即可求出的值，進而得到四邊形AEFH的面積.

如圖，連接HE，HC，作HM⊥AB于M，延長MH交CD于N．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠ADH=∠CDH=45°，

∵DH=DH，

∴△ADH≌△CDH（SAS），

∴AH=CH=，

∵EF⊥AB，HM⊥AB，DA⊥AB，

∴EF∥HM∥AD，

∵HF=HD，

∴AM=EM，

∴HA=HE=HC，

∵∠AMN=∠DAM=∠ADN=90°，

∴四邊形AMND是矩形，

∴AM=DN，

由題可證得DN=HN，

又∵AM=EM，

∴EM=HN，

∴Rt△HME≌Rt△CNH（HL），

∴∠MHE=∠HCN，

∵∠HCN+∠CHN=90°，

∴∠MHE+∠CHN=90°，

∴∠EHC=90°，

∴EC=HE=2，

∵EG=，

∴GC=2–=，

∵EF∥BC，

∴==，

設EF=BE=4a，則BC=AB=10a，AE=6a，AM=ME=3a，

∵EF∥HM，

∴=，

∴=，

∴HM=7a，

∴S四邊形AEFH=S△AMH+S梯形EFHM=×3a×7a+（4a+7a）×3a=27a2，

在Rt△BEC中，

∵BE2+BC2=EC2，

∴16a2+100a2=4，

∴a2=，

∴S四邊形AEFH=．

故答案為:．