Question

【題目】如圖，等邊△ABC 內接于⊙O，P 是上任一點（點 P 不與點 A、B 重合），連 AP、BP，過點 C 作 CM∥BP 交 PA 的延長線于點 M．

(1)填空：∠APC＝ 度，∠BPC＝ 度；

(2)求證：△ACM≌△BCP；

(3)若 PA＝1，PB＝2，求梯形 PBCM 的面積．

Answer 1

【答案】(1)60,60;(2)見解析;(3).

【解析】

（1）利用同弧所對的圓周角相等即可求得題目中的未知角；

（2）利用上題中得到的相等的角和等邊三角形中相等的線段證得兩三角形全等即可；

（3）利用上題證得的兩三角形全等判定△PCM 為等邊三角形，進而求得 PH 的長，利用梯形的面積公式計算梯形的面積即可．

（1）解：∠APC＝60°，∠BPC＝60°；

(2)證明：∵CM∥BP，

∴∠BPM+∠M＝180°，

∠PCM＝∠BPC，

∵∠BPC＝∠BAC＝60°，

∴∠PCM＝∠BPC＝60°，

∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，

∴∠M＝∠BPC＝60°，

又∵A、P、B、C 四點共圓，

∴∠PAC+∠PBC＝180°，

∵∠MAC+∠PAC＝180°

∴∠MAC＝∠PBC，

∵AC＝BC，

∴△ACM≌△BCP；

(3)解：作 PH⊥CM 于 H，

∵△ACM≌△BCP，

∴CM＝CP， AM＝BP，∠M＝60°，

∴△PCM 為等邊三角形，

∴CM＝CP＝PM＝PA+AM＝PA+PB＝1+2＝3，

在 Rt△PMH 中，∠MPH＝30°，

∴PH＝ ，

∴S 梯形 PBCM＝（PB+CM）×PH＝ ＝．