Question

【題目】如圖，在△ABC外作兩個大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE。連結DC、BE交于F點。

（1）求證：△DAC≌△BAE；

（2）求證：DC⊥BE；

（3）求證：∠DFA=∠EFA.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

(1)由題意可得AD=AB，AC=AE，由∠DAB=∠CAE=90°，可得到∠DAC=∠BAE，從而可證△DAC≌△BAE；

(2)由(1)可得∠ACD=∠AEB，再利用直角三角形的性質及等量代換即可得到結論；

(3)作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，利用全等三角形的面積相等及角平分線的判定即可證得結論．

證明：(1)∵ ，

∴，

即，

又∵，AC=AE，

∴△DAC≌△BAE；

（2）∵△DAC≌△BAE，

∴∠ACD=∠AEB，

∵ ，

，

∴，

∴，

∴；

(3)作于，于，

∵≌

∴，，

∴，

∴，

∴是的平分線，

即.

故答案為：(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.