Question

【題目】求兩個正整數的最大公約數是常見的數學問題，中國古代數學專著《九章算術》中便記載了求兩個正整數最大公約數的一種方法﹣﹣更相減損術，術曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少成多，更相減損，求其等也．以等數約之”，意思是說，要求兩個正整數的最大公約數，先用較大的數減去較小的數，得到差，然后用減數與差中的較大數減去較小數，以此類推，當減數與差相等時，此時的差（或減數）即為這兩個正整數的最大公約數．

例如：求91與56的最大公約數

解：

請用以上方法解決下列問題：

（1）求108與45的最大公約數；

（2）求三個數78、104、143的最大公約數．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）13．

【解析】

試題分析：（1）根據題目，首先弄懂題意，然后根據例子寫出答案即可；

（2）可以先求出104與78的最大公約數為 26，再利用輾轉相除法，我們可以求出26 與 143的最大公約數為13，進而得到答案．

試題解析：（1）108﹣45=63，63﹣45=18，27﹣18=9，18﹣9=9，所以108與45的最大公約數是9；

（2）先求104與78的最大公約數，104﹣78=26，78﹣26=52，52﹣26=26，所以104與78的最大公約數是26；

再求26與143的最大公約數，143﹣26=117，117﹣26=91，91﹣26=65，65﹣26=39，39﹣26=13，26﹣13=13，所以，26與143的最大公約數是13，∴78、104、143的最大公約數是13．