Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=BD，點B、C、D、G四個點在同一個圓⊙O上，連接BG 并延長交AD于點F，連接DG并延長交AB于點E，BD與CG交于點H，連接FH，下列結 論：①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④當CG為⊙O的直徑時，DF=AF．其中正確結論的個數是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】∵四邊形ABCD為菱形，AB＝BD，∴△ABD是等邊三角形，∵B，C，D，G四個點在同一個⊙O上，∴∠GDC＋∠GBC＝180°，又∠BDC＝∠DBC＝60°，∴∠GDB＋∠GBD＝60°，又∠ADE＋∠EDB＝60°，∴∠ADE＝∠DBF．在△ADE和△DBF中，∠A＝∠ADB，AD＝DB，∠ADE＝∠DBF，∴△ADE≌△DBF，∴AE＝DF，故①正確；∵B，C，D，G四個點在同一個⊙O上，∴∠DCG＝∠DBG，又∠DBG＝∠ADE，

∴∠ADE＝∠DCG．在△ADE和△CDH中，∠A＝∠BDC，AD＝DC，∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCH，∴AE＝DH，又DF＝AE，∴DF＝DH．又∠ADB＝60°，∴∠DFH＝60°，∴FH∥AB，故②正確；由△ADE≌△DCH，得∠AED＝∠DHC，∴∠DHG＝∠DEB，又∠ADE＝∠DBG，∴∠EDB＝∠FBE，∴△DGH∽△BGE，故③正確；當CG為⊙O的直徑時，∠GBD＝30°，又∠ADB＝60°，∠DFB＝90°，∵△ADB是等邊三角形，∴DF＝AF，故④正確．故選D．