Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為菱形，∠D=60°，AB=4，E為邊BC上的動點，連接AE，作AE的垂直平分線GF交直線CD于F點，垂足為點G，則線段GF的最小值為____________．

Answer 1

【答案】3

【解析】

作輔助線，構建三角形全等，證明Rt△AFM≌Rt△EFN（HL），得∠AFM=∠EFN，再證明△AEF是等邊三角形，計算FG=AG=AE，確認當AE⊥BC時，即AE=2時，FG最小．

解：連接AC，過點F作FM⊥AC于，作FN⊥BC于N，連接AF、EF，

∵四邊形ABCD是菱形，且∠D=60°，

∴∠B=∠D=60°，AD∥BC，

∴∠FCN=∠D=60°=∠FCM，

∴FM=FN，

∵FG垂直平分AE，

∴AF=EF，

∴Rt△AFM≌Rt△EFN（HL），

∴∠AFM=∠EFN，

∴∠AFE=∠MFN，

∵∠FMC=∠FNC=90°，∠MCN=120°，

∴∠MFN=60°，

∴∠AFE=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴FG=AG=AE，

∴當AE⊥BC時，Rt△ABE中，∠B=60°，

∴∠BAE=30°，

∵AB=4，

∴BE=2，AE=2，

∴當AE⊥BC時，即AE=2時，FG最小，最小為3；

故答案為：3．