【題目】黃巖島自古以來就是中國的領土，如圖，為維護海洋利益，三沙市一艘海監船在黃巖島附近海域巡航，某一時刻海監船在A處測得該島上某一目標C在它的北偏東45°方向，海監船沿北偏西30°方向航行60海里后到達B處，此時測得該目標C在它的南偏東75方向，求此時該船與目標C之間的距離CB的長度，（結果保留根號）
【答案】該船與島上目標C之間的距離 即CB的長度為（30
+10
）海里．
【解析】
由由平行線的性質得到∠EBA=∠FAB=30°，進而求得∠ABC，根據三角形的內角和求出∠C的度數；過A作AD⊥BC于D，根據正弦三角函數和正切三角函數可求得則BD和CD，即可求得結論．
由題意得：∠EBA=∠FAB=30°，
∴∠ABC=∠EBC﹣∠EBA=75°﹣30°=45°，
∴∠C=180°﹣45°﹣75°=60°；
過A作AD⊥BC于D，則BD=AD=ABsin∠ABD=2×30×
=30
，
CD=
，
∴CB=BD+CD=（30+10
）海里．
答：該船與島上目標C之間的距離 即CB的長度為（30+10）海里．
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【題目】定義：如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，當∠BAC+∠DAE=180°時，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點A叫做“旋補中心”．
特例感知：
（1）在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補三角形”，AM，AN是“頂心距”．
①如圖2，當∠BAC=90°時，AM與DE之間的數量關系為AM= DE；
②如圖3，當∠BAC=120°，BC=6時，AN的長為 ．
猜想論證：
（2）在圖1中，當∠BAC為任意角時，猜想AM與DE之間的數量關系，并給予證明．
拓展應用
（3）如圖4，在四邊形ABCD，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CD=2，在四邊形ABCD的內部是否存在點P，使得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”？若存在，請給予證明，并求△PBC的“頂心距”的長；若不存在，請說明理由．
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【題目】如圖，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D是線段AB上的動點，M、N分別是AD、CD的中點，連接MN，當點D由點A向點B運動的過程中，線段MN所掃過的區域的面積為_____．
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【題目】我們知道:有些代數恒等式可以利用平面圖形的面積來表示，如：
就可以用如圖所示的面積關系來說明。
(1)請根據如圖寫出代數恒等式,并根據所寫恒等式計算：
(2)若
求
的值；
(3)現有如圖中的彩色卡片:A型、B型、C型，把這些卡片不重疊不留縫隙地貼在棱長為
的100個立方體表面進行裝飾，A型、B型、C型卡片的單價分別為0.7元/張、0.5元/張、0.4元/張，共需多少費用?
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【題目】中雅培粹學校舉辦運動會，全校有3000名同學報名參加校運會，為了解各類運動賽事的分布情況，從中抽取了部分同學進行統計：A.田徑類，B.球類，C.團體類，D.其他，并將統計結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖.
（1）這次統計共抽取了 位同學，扇形統計圖中的
，
的度數是 ；
（2）請將條形統計圖補充完整；
（3）估計全校共多少學生參加了球類運動.
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【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，點A為切點，BP與⊙O交于點C，點D是AP的中點，連結CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=2，∠P=30°，求陰影部分的面積．
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【題目】閱讀與理解：
折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如圖），怎樣證明∠C＞∠B呢？
把AC沿∠A的角平分線AD翻折，因為AB＞AC，所以點C落在AB上的點
處，即
，據以上操作，易證明
≌
，所以
，又因為
>∠B，所以∠C>∠B．
感悟與應用：
（1）如圖（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，試判斷AC和AD、BC之間的數量關系，并說明理由；
（2）如圖（b），在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，DC=BC=12，
① 求證：∠B+∠D=180°；
② 求AB的長．
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【題目】如圖，在7×7網格中，每個小正方形的邊長都為1.
(1)若點A（1，3），C（2,1）， ①建立適當的平面直角坐標系；②點B的坐標為( ， );
(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由.
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【題目】如圖①，△ABC為等腰直角三角形, △ABD為等邊三角形，連接CD.
（1）求∠ACD的度數；
（2）如圖①，作∠BAC的平分線交CD于點E，求證：DE=AE+CE；
（3）如圖②，在（2）的條件下，M為線段BC右側一點，滿足∠CMB=60°，求證：ME平分∠CMB.
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