Question

【題目】如圖，A（0，4）是直角坐標系y軸上一點，動點P從原點O出發，沿x軸正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內作等腰Rt△APB．設P點的運動時間為t秒．

（1）若AB//x軸，求t的值；

（2）當t=3時，坐標平面內有一點M（不與A重合），使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，請求出點M的坐標；

Answer 1

【答案】(1)4;(2) （4，7）或（10，-1）或（6，-4）或（0，4）.

【解析】

（1）由AB∥x軸，可找出四邊形ABCO為長方形，再根據△APB為等腰三角形可得知∠OAP=45°，從而得出△AOP為等腰直角三角形，由此得出結論；
（2）由全等三角形的性質和等腰三角形的性質可得出結論，注意分類討論．

解：（1）過點B作BC⊥x軸于點C，如圖所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，
∴四邊形ABCO為長方形，
∴AO=BC=4．
∵△APB為等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，
∴△AOP為等腰直角三角形，
∴OA=OP=4．
∴t=4÷1=4（秒），
故t的值為4．
（2）當t=3時，OP=3．
∵OA=4，
∴由勾股定理，得
AP==5．
∴AP=PB=5，AB=5,
∴當△MPB≌△ABP時，此時四邊形APBM1是正方形，四邊形APBM3是平行四邊形，易得M1（4，7）、M3（10，-1）；
當△MPB≌△APB時，此時點M2與點A關于點P對稱，易得M2（6，-4）．
當兩個三角形重合時，此時符合條件的點M的坐標是（0，4）；
綜上所述，點M的坐標為（4，7）或（10，-1）或（6，-4）或（0，4）；