Question

【題目】已知Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB=∠AED=90°．

（1）將這兩個三角形按圖①方式擺放，使點E落在AB上，DE的延長線交BC于點F．求證：BF+EF=DE；

（2）改變△ADE的位置，使DE交BC的延長線于點F（如圖②），則（1）中的結論還成立嗎？若成立，加以證明；若不成立，寫出此時BF、EF與DE之間的等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；(2) （1）中的結論不成立，有DE=BF﹣EF，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由Rt△ABC≌Rt△ADE得AC=AE，根據HL可證得Rt△ACF≌Rt△AEF，由BC=BF+CF代入可得結論；

（2）如圖②，（1）中的結論不成立，有DE=BF-EF，同（1）：證明Rt△ACF≌Rt△AEF，再由BC=BF-FC得出結論．

試題解析：（1）如圖①，連接AF，

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴AC=AE，BC=DE，

∵∠ACB=∠AEF=90°，AF=AF，

∴Rt△ACF≌Rt△AEF，

∴CF=EF，

∴BF+EF=BF+CF=BC，

∴BF+EF=DE；

（2）如圖②，（1）中的結論不成立，有DE=BF-EF，理由是：

連接AF，

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴AC=AE，BC=DE，

∵∠E=∠ACF=90°，AF=AF，

∴Rt△ACF≌Rt△AEF，

∴CF=EF，

∴DE=BC=BF-FC=BF-EF，

即DE=BF-EF．