Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，延長AB至E，延長CD至F，BE=DF，連接EF，與BC、AD分別相交于P、Q兩點．

（1）求證：CP=AQ；

（2）若BP=1，PQ=，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8．

【解析】

試題分析：（1）由矩形的性質得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，證出∠E=∠F，AE=CF，由ASA證明△CFP≌△AEQ，即可得出結論；

（2）證明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE=BP=，得出EQ=PE+PQ=，由等腰直角三角形的性質和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面積．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，∵∠C=∠A，CF=AE，∠F=∠E，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；

（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ==，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面積=ABAD=2×4=8．