Question

【題目】如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC．

∵AC=CD，∠ACD=120°，

∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，

∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線．

（2）解：∵∠A=30°，

∴∠1=2∠A=60°．

∴S扇形BOC= ．

在Rt△OCD中，

∵ = ，

∴ = ．

∴ ．

∴圖中陰影部分的面積為： ．

【解析】（1）要證CD是⊙O的切線，點C在半圓上，因此連接OC，需證明OC⊥CD。先根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理求出∠2=∠A=∠D=30°．再求出∠OCD的度數，就可證出結論。
（2）根據圖形分析陰影部分的面積=Rt△OCD的面積-扇形COB的面積，根據題意易求出∠1的度數，再利用解直角三角形求出CD的長，然后求出Rt△OCD的面積和扇形COB的面積，即可求得結果。