Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB為半徑作⊙C，交AC于點D，交AC的延長線于點E，連接ED，BE．

（1）求證：△ABD∽△AEB；

（2）當 = 時，求tanE；

（3）在（2）的條件下，作∠BAC的平分線，與BE交于點F，若AF=2，求⊙C的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）要證明△ABD∽△AEB，已經有一組對應角是公共角，只需要再找出另一組對應角相等即可;（2）由于AB：BC=4：3，可設AB=4，BC=3，求出AC的值，再利用（1）中結論可得AB2=ADAE，進而求出AE的值，所以tanE=;（3）設AB=4x，BC=3x，由于已知AF的值，構造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值，即可知道半徑3x的值．

（1）證明：∵∠ABC=90°，

∴∠ABD=90°﹣∠DBC，

由題意知：DE是直徑，

∴∠DBE=90°，

∴∠E=90°﹣∠BDE，

∵BC=CD，

∴∠DBC=∠BDE，

∴∠ABD=∠E，

∵∠A=∠A，

∴△ABD∽△AEB；

（2）解：∵AB：BC=4：3，

∴設AB=4，BC=3，

∴AC= =5，

∵BC=CD=3，

∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，

由（1）可知：△ABD∽△AEB，

∴ ，

∴AB2=ADAE，

∴42=2AE，

∴AE=8，

在Rt△DBE中

tanE= = =

（3）過點F作FM⊥AE于點M，

∵AB：BC=4：3，

∴設AB=4x，BC=3x，

∴由（2）可知；AE=8x，AD=2x，

∴DE=AE﹣AD=6x，

∵AF平分∠BAC，

∴ ，

∴ ，

∵tanE= ，

∴cosE= ，sinE= ，

∴ ，

∴BE= ，

∴EF= BE= ，

∴sinE= = ，

∴MF= ，

∵tanE= ，

∴ME=2MF= ，

∴AM=AE﹣ME= ，

∵AF2=AM2+MF2 ，

∴4= + ，

∴x= ，

∴⊙C的半徑為：3x= ．