Question

【題目】已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA、EC．

(1)如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；

(2)若點P在線段AB上．

①如圖2，連接AC，當P為AB的中點時，判斷△ACE的形狀，并說明理由；

②如圖3，設AB=a，BP=b，當EP平分∠AEC時，求a：b及∠AEC的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）△ACE為直角三角形，理由見解析；（3）∠AEC=45°．

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質和全等三角形的判定定理易證△APE≌△CFE，由全等三角形的性質即可得結論；（2）①根據正方形的性質、等腰直角三角形的性質即可判定△ACE為直角三角形；②根據PE∥CF，得到，代入a、b的值計算求出a：b，根據角平分線的判定定理得到∠HCG=∠BCG，證明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC的度數．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形

∴AB=AC

∵四邊形BPEF為正方形

∴∠P=∠F=90°，PE=EF=FB=BP

∵AP=AB+BP,CF=BC+BF

∴CF=AP

在△APE和△CFE中：EP="EF," ∠P="∠F=90°," AP= CF

∴△APE≌△CFE

∴EA=EC

（2）①∵P為AB的中點，

∴PA=PB，又PB=PE，

∴PA=PE，

∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，

∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，

∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a

∵PE∥CF，

∴，即，

解得，a=b；

作GH⊥AC于H，

∵∠CAB=45°，

∴HG=AG=×（2b﹣2b）=（2﹣）b，又BG=2b﹣a=（2﹣）b，

∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，

∴∠HCG=∠BCG，

∵PE∥CF，

∴∠PEG=∠BCG，

∴∠AEC=∠ACB=45°．

∴a：b=：1；∴∠AEC=45°．