Question

【題目】如圖，已知在中，是邊上一點，，是的外接圓，是的直徑，且交于點．

（1）求證：是的切線；

（2）過點作，垂足為點，延長交于點，若，求的長；

（3）在滿足（2）的條件下，若，，求的半徑及的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC＝；（3）sin∠ACE＝．

【解析】

（1）根據圓周角定理得出∠ACD＝90°以及利用∠PAC＝∠PBA得出∠CAD＋∠PAC＝90°進而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，進而得出AC2＝AGAB，求出AC即可；
（3）先求出AF的長，根據勾股定理得：AG＝，即可得出sin∠ADB的值，利用∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，求出即可．

解：（1）證明：連接CD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＋∠ADC＝90°，
又∵∠PAC＝∠PBA，∠ADC＝∠PBA，
∴∠PAC＝∠ADC，
∴∠CAD＋∠PAC＝90°，即∠PAD=90°，
∴PA⊥OA．
又∵AD是⊙O的直徑，
∴PA是⊙O的切線；

（2）由（1）知，PA⊥AD，
又∵CF⊥AD，
∴CF∥PA，
∴∠GCA＝∠PAC，
又∵∠PAC＝∠PBA，
∴∠GCA＝∠PBA，
又∵∠CAG＝∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴，即AC2＝AGAB，
∵AGAB＝48，
∴AC2＝48．
∴AC＝．
（3）設AF＝x，
∵AF：FD＝1：2，
∴FD＝2x．
∴AD＝AF＋FD＝3x．
在Rt△ACD中，
∵CF⊥AD，
由射影定理得：AC2＝AFAD，
即3x2＝48．
解得；x＝4．
∴AF＝4，AD＝12．
∴⊙O半徑為6．
在Rt△AFG中，∵AF＝4，GF＝2，
∴根據勾股定理得：AG＝，
由（2）知，AGAB＝48，
∴AB＝，
連接BD，∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD＝90°．
在Rt△ABD中，
∵sin∠ADB＝，AD＝12，AB＝，
∴sin∠ADB＝．
∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴sin∠ACE＝．