Question

【題目】如圖，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形.

（1）當把△ADE繞A點旋轉到圖2的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；

（2）當△ADE繞A點旋轉到圖3的位置時，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）CD=BE．理由如下:

∵△ABC和△ADE為等邊三角形

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o

∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，

∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD

∴CD=BE

（2）△AMN是等邊三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD．

∵M、N分別是BE、CD的中點，∴BM=CN

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°

∴△AMN是等邊三角形．

【解析】試題分析：（1）CD=BE．利用“等邊三角形的三條邊相等、三個內角都是60°”的性質證得△ABE≌△ACD；然后根據全等三角形的對應邊相等即可求得結論CD=BE；

（2）△AMN是等邊三角形．首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的對應角相等、已知條件“M、N分別是BE、CD的中點”、等邊△ABC的性質證得△ABM≌△ACN；然后利用全等三角形的對應邊相等、對應角相等求得AM=AN、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以有一個角是60°的等腰三角形的正三角形．

解：（1）CD=BE．理由如下：

∵△ABC和△ADE為等邊三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，

∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC，

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS）

∴CD=BE；

（2）△AMN是等邊三角形．理由如下：

∵△ABE≌△ACD，

∴∠ABE=∠ACD．

∵M、N分別是BE、CD的中點，∴BM=CN

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，

在△ABM和△ACN中，

，

∴△ABM≌△ACN（SAS）．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°

∴△AMN是等邊三角形．