Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為P（2，9），與x軸交于點A，B，與y軸交于點C（0，5）．

（Ⅰ）求二次函數的解析式及點A，B的坐標；

（Ⅱ）設點Q在第一象限的拋物線上，若其關于原點的對稱點Q′也在拋物線上，求點Q的坐標；

（Ⅲ）若點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，使得以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，且AC為其一邊，求點M，N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q（，4）；（3）M（1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．

【解析】

(1)設頂點式，再代入C點坐標即可求解解析式，再令y=0可求解A和B點坐標；

(2)設點Q（m，﹣m2+4m+5），則其關于原點的對稱點Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再將Q′坐標代入拋物線解析式即可求解m的值，同時注意題干條件“Q在第一象限的拋物線上”；

(3)利用平移AC的思路，作MK⊥對稱軸x=2于K，使MK=OC，分M點在對稱軸左邊和右邊兩種情況分類討論即可.

（Ⅰ）設二次函數的解析式為y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，

∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，

令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，

解得x=﹣1或5，

∴A（﹣1，0），B（5，0）．

（Ⅱ）設點Q（m，﹣m2+4m+5），則Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．

把點Q′坐標代入y=﹣x2+4x+5，

得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，

∴m=或（舍棄），

∴Q（，）．

（Ⅲ）如圖，作MK⊥對稱軸x=2于K．

①當MK=OA，NK=OC=5時，四邊形ACNM是平行四邊形．

∵此時點M的橫坐標為1，

∴y=8，

∴M（1，8），N（2，13），

②當M′K=OA=1，KN′=OC=5時，四邊形ACM′N′是平行四邊形，

此時M′的橫坐標為3，可得M′（3，8），N′（2，3）．