Question

【題目】已知拋物線，其中，且.

（1）直接寫出關于的一元二次方程的一個根；

（2）證明：拋物線的頂點在第三象限；

（3）直線與軸分別相交于兩點，與拋物線相交于兩點.設拋物線的對稱軸與軸相交于,如果在對稱軸左側的拋物線上存在點,使得與相似.并且，求此時拋物線的表達式.

Answer 1

【答案】（1）x=1（2）證明見解析（3）y=x2+2x﹣3

【解析】

試題分析：（1）根據a+b+c=0，結合方程確定出方程的一個根即可；

（2）表示出拋物線的對稱軸，將2a=b代入，并結合a+b+c=0，表示出c，判斷頂點坐標即可；

（3）根據表示出的b與c，求出方程的解確定出拋物線解析式，由直線y=x+m與x，y軸交于B，C兩點，表示出OB=OC=|m|，可得出三角形BOC為等腰直角三角形，確定出三角形三角形ADE面積，根據三角形ADF等于三角形ADE面積的一半求出a的值，即可確定出拋物線解析式．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c，a+b+c=0，

∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根為x=1；

（2）證明：∵2a=b，

∴對稱軸x=﹣=﹣1，

把b=2a代入a+b+c=0中得：c=﹣3a，

∵a＞0，c＜0，

∴△=b2﹣4ac＞0，

∴＜0，

則頂點A（﹣1，）在第三象限；

（3）由b=2a，c=﹣3a，得到x==，

解得：x1=﹣3，x2=1，

二次函數解析式為y=ax2+2ax﹣3a，

∵直線y=x+m與x，y軸分別相交于點B，C兩點，則OB=OC=|m|，

∴△BOC是以∠BOC為直角的等腰直角三角形，即此時直線y=x+m與對稱軸x=﹣1的夾角∠BAE=45°，

∵點F在對稱軸左側的拋物線上，則∠DAF＞45°，此時△ADF與△BOC相似，

頂點A只可能對應△BOC的直角頂點O，即△ADF是以A為直角頂點的等腰直角三角形，且對稱軸為x=﹣1，

設對稱軸x=﹣1與OF交于點G，

∵直線y=x+m過頂點A（﹣1，﹣4a），

∴m=1﹣4a，

∴直線解析式為y=x+1﹣4a，

聯立得：，

解得：或，

這里（﹣1，﹣4a）為頂點A，（﹣1，﹣4a）為點D坐標，

點D到對稱軸x=﹣1的距離為﹣1﹣（﹣1）=，AE=|﹣4a|=4a，

∴S△ADE=××4a=2，即它的面積為定值，

這時等腰直角△ADF的面積為1，

∴底邊DF=2，

而x=﹣1是它的對稱軸，此時D、C重合且在y軸上，由﹣1=0，

解得：a=1，此時拋物線解析式為y=x2+2x﹣3．