Question

【題目】(1)操作發現：

如圖①'在正方形ABCD中，過A點有直線AP，點B關于AP的對稱點為E，連接DE交AP于點F,當∠BAP=20°時，則∠AFD= °；當∠BAP=α°(0<α<45°)時，則∠AFD= °；猜想線段DF, EF, AF之間的數量關系：DF-EF= AF（填系數）；

(2)數學思考：

如圖②,若將“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中，∠BAD=120°”，其他條件不變，則∠AFD= °；線段DF, EF, AF之間的數量關系是否發生改變，若發生改變，請寫出數量關系并說明理由；

(3)類比探究：

如圖③，若將“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中，∠BAD=α°”，其他條件不變，則∠AFD= °；請直接寫出線段DF,EF,AF之間的數量關系： .

Answer 1

【答案】（1）45，45，

（2）30，改變，DF-EF=AF

（3）（90-），DF-EF=2sin·AF

【解析】試題分析：對于（1），作AM垂直DE，在DF上取點G，使∠FAG=∠BAD=90°，根據B的對稱點為E，四邊形ABCD為正方形，即可求得△EAF≌△DAG，從而得出△AFG為等腰直角三角形，即可求出∠AFG，根據DF-EF=FG，在直角三角形FAG中，利用三角函數值，即可求得答案；

對于（2），作AM垂直DE，在DF上取點G，使∠FAG=∠BAD=120°，根據B的對稱點為E，四邊形ABCD為菱形，即可求得△EAF≌△DAG，從而得出△AFG為等腰直角三角形，即可求出∠AFG，根據DF-EF=FG，解直角三角形AFM，利用三角函數值求出FM=AF，再根據FG=2FM，即可解答；

對于（3），同理可證△EAF≌△DAG，從而得出△AFG為等腰直角三角形，即可求出∠AFG，解直角三角形AFM，利用三角函數值求出FM=sin AF，即可解答.

試題解析：（1）45°；45°；.

（2）30°；DF，EF，AF間的數量關系發生變化，變為DF-EF=AF.

理由如下：如圖，在DF上取點G，使∠FAG=∠BAD=120°.

∵∠AFG=30°,

∴∠AGF=30°.

∴AF=AG.

由對稱知AE=AB，

∠BAF=∠EAF，由菱形性質知AB=AD，

∴AE=AD，∠EAF=∠FAG-∠BAG=∠BAD-∠BAG=∠GAD.

∴△EAF≌△DAG，

∴EF=DG，

∴DF-EF=DF-DG=FG，

作AM⊥ED于M，

∵AF=AG，

∴FG=2FM，

在Rt△AFM中，

∠AFM=30°，∠AMF=90°，

∴FM=AF.

∴DF-EF=FG=2FM=AF.

（3）90°-；DF-EF=2sinAF.