Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝90°，∠ABD＝90°，AB＝BD，BC＝4，（點A、D分別在直線BC的上下兩側），點G是Rt△ABD的重心，射線BG交邊AD于點E，射線BC交邊AD于點F．

（1）求證：∠CAF＝∠CBE；

（2）當點F在邊BC上，AC＝1時，求BF的長；

（3）若△BGC是以BG為腰的等腰三角形，試求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BF＝；（3）AC＝2或2．

【解析】

（1）根據重心的定義可得BE是Rt△ABD的中線，然后根據三線合一可得∠AEB＝90°，再根據三角形外角的性質即可證出結論；

（2）過點D作DH⊥BC于H，利用AAS證出△ABC≌△BDH，從而可得AC＝BH＝1，HD＝BC＝4，然后根據相似三角形的判定證出△AFC∽△DFH，列出比例式即可求出結論；

（3）根據等腰三角形腰的情況分類討論，分別畫出對應的圖形，根據重心的定義、垂直平分線的判定、全等三角形的判定及性質和勾股定理即可分別求出結論．

（1）∵點G是Rt△ABD的重心，

∴BE是Rt△ABD的中線，

又∵在Rt△ABC中，∠ABD＝90°，AB＝BD，

∴BE⊥AD，即∠AEB＝90°，

∵∠AFB＝∠ACF+∠FAC＝∠FBE+∠BEF，且∠ACF＝∠BEF＝90°，

∴∠CAF＝∠CBE；

（2）過點D作DH⊥BC于H，

∵∠ABD＝90°，

∴∠ABC+∠DBC＝90°，且∠ABC+∠BAC＝90°，

∴∠BAC＝∠DBC，且AB＝BD，∠ACB＝∠BHD，

∴△ABC≌△BDH（AAS）

∴AC＝BH＝1，HD＝BC＝4，

∴HC＝3，

∵∠ACB＝∠DHC＝90°，∠AFC＝∠DFH，

∴△AFC∽△DFH，

∴＝

∴CF＝HF，

∴HF＝＝，

∴BF＝BH+HF＝1+＝；

（3）當GC＝GB時，如圖，連接DG并延長交BC于H，交AB于N，連接NC，

∵點G是Rt△ABD的重心，

∴AN＝BN，

∵∠ACB＝90°，

∴BN＝NC＝AN，

∴點N在BC的垂直平分線上，

∵BG＝GC，

∴點G在BC的垂直平分線上，

∴DN垂直平分BC，

∴BH＝HC＝2，DH⊥BC，

∵∠ABD＝90°，

∴∠ABC+∠DBC＝90°，且∠ABC+∠BAC＝90°，

∴∠BAC＝∠DBC，且AB＝BD，∠ACB＝∠BHD，

∴△ABC≌△BDH（AAS）

∴AC＝BH＝2；

若BG＝BC＝4，如圖，

∵點G是Rt△ABD的重心，

∴BG＝2GE，

∴GE＝2，

∴BE＝6，

∵∠ABD＝90°，AB＝BD，BE⊥AD

∴BE＝AE＝6，

∴AB＝AE＝6，

∴AC＝＝＝2，

綜上所述：AC＝2或2．