Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值；

（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）當時，S有最大值.（3）點M的坐標為或或或

【解析】試題分析：（1）已知拋物線上的三點坐標，利用待定系數法可求出該二次函數的解析式；
（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N，先運用待定系數法求出直線AC的解析式，設P點坐標為（x，x2+2x-3），根據AC的解析式表示出點N的坐標，再根據S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面積，運用頂點式就可以求出結論；
（3）分三種情況進行討論：①以A為直角頂點；②以D為直角頂點；③以M為直角頂點；設點M的坐標為（0，t），根據勾股定理列出方程，求出t的值即可．

試題解析：（1）由于拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣3，0），B（1，0），

可設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），
將C點坐標（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=-3，解得 a=1.

∴拋物線的解析式為：y=（x+3）（x﹣1），即y=x2+2x﹣3

（2）如圖1，過點P作x軸的垂線，交AC于點N．
設直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得，解得.
∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣3.
設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），
則點N的坐標為（x，﹣x﹣3），
∴PN=PE﹣NE=-（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x.
∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，
∴.
∴當時，S有最大值.

（3）在y軸上存在點M，能夠使得△ADE是直角三角形.理由如下：
∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴頂點D的坐標為（﹣1，﹣4）.
∵A（﹣3，0）， ∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20.
設點M的坐標為（0，t），分三種情況進行討論：
①當A為直角頂點時，如圖2，
由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，
即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得.
∴點M的坐標為
②當D為直角頂點時，如圖3，

由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，
即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，解得
∴點M的坐標為
③當M為直角頂點時，如圖4，
由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，
即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，

解得t=﹣1或﹣3
∴點M的坐標為（0，﹣1）或（0，﹣3）.
綜上所述，在y軸上存在點M，能夠使得△ADE是直角三角形，此時點M的坐標為或或或