Question

【題目】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線， AF⊥BE ， 垂足為P．像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設，，．

特例探索

（1）如圖1，當∠=45°，時，= ， ；

如圖2，當∠=30°，時， = ， ；

歸納證明

（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想三者之間的關系，用等式表示出來，

并利用圖3證明你發現的關系式；

拓展應用

（3）如圖4，在□ABCD中，點E，F，G分別是AD，BC，CD的中點，BE⊥EG， AD=，AB=6．

求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）圖1：a=，b=；圖2：a=，b=；（2）猜想：a2+b2=5c2，理由見解析；（3）AF=7．

【解析】

試題分析：（1）利用特殊角的三角函數值和勾股定理求出AE的長，然后可求出圖中a、b的值；（2）設PE=m，PF=n，那么PB=2m，PA=2n，然后根據勾股定理用m、n表示出AE2，AC2，BC2， AB2=PA2+PB2，觀察它們之間的關系，可得出結論；（3）連接AC，交BE于點P，取AB中點H，連接FH，交BE于點Q，然后根據中位線定理的長FG∥AC，FH∥AC，∠1=∠2=∠3=90°，根據條件證明△ARE≌△FRB從而得出AR=FR，進而證明△ABF是“中垂三角形”，然后利用（2）中結論求出AF的長．

試題解析：（1）圖1：a=，b=；圖2：a=，b=

（2）猜想：a2+b2=5c2

設PE=m，PF=n，那么PB=2m，PA=2n．

根據勾股定理得：AE2=PE2+PA2=m2+（2n）2=m2+4n2

∴AC2=（2AE）2=4AE2=4（m2+4n2）=4m2+16n2=b2

同理BC2=（2BF2）=4BF2=4（n2+4m2）=4n2+16m2=a2

∴a2+b2=（4n2+16m2）+ （4m2+16n2）=20m2+20n2=5（4m2+4n2）

又∵AB2=PA2+PB2=（2n）2+（2m）2=4m2+4n2=c2

∴a2+b2=5c2

（3）連接AC，交BE于點P，取AB中點H，連接FH，交BE于點Q．

∵E，G分別是AD，CD的中點

∴FG是△ACD的中位線，∴FG∥AC

又∵BE⊥EG，∴∠1=90°，∴∠2=90°

同理FH是△ABC的中位線，FH∥AC

∴∠3=∠2=90°

又可以證得△ARE≌△FRB，

∴AR=FR

∴BR和FH都是△ABF的中線并且BR⊥FH，

∴△ABF是“中垂三角形”．

∴AB2+AF2=5BF2，∴62+AF2=5（）2，∴AF=7