Question

【題目】已知：如圖，△ABC是等邊三角形，延長AC到E，C為線段AE上的一動點（不與點A、E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ,OC. 以下五個結論：①AD=BE；②AP=BO；③PQ//AE；④∠AOB=60°；⑤OC平分∠AOE；結論正確的有_________（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

【答案】①③④⑤

【解析】

根據等邊三角形的三邊都相等，三個角都是60°，可以證明△ACD△BCE，根據全等三角形對應邊相等可得AD=BE，所以①正確；

由△ACD△BCE得∠CAD=∠CBE，加上∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP△BCQ（ASA），所以AP=BO，故②錯誤；

根據△ACP△BCQ，再根據PC=QC，推出△PCQ是等邊三角形，又由∠ACB=∠CPQ，根據內錯角相等，兩直線平行，故③正確；

利用等邊三角形的性質，BC//DE，再根據平行線的性質得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正確；

根據三角形面積公式求出CN=CM，根據角平分線性質即可判斷⑤.

①∵正三角形ABC和正三角形CDE，

∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD△BCE（SAS），

∴AD=BE；故①正確.

②∵△ACD△BCE（已證），

∴∠CAD=∠CBE，

∵∠BCA=∠DCE=60°（已證），

∴=60°，

∴∠ACB=∠BCQ=60°，

在△ACP和△BCQ中，

，

∴△ACP△BCQ（ASA），

∴AP=BO，

故②錯誤.

③∵△ACP△BCQ（已證），

∴PC=QC，

∴△PCQ是等邊三角形.

∴∠CPQ=60°，

∴∠ACB=∠CPQ，

∴PQ//AE，

故③正確.

④∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，

在正三角形CDE中，

∠DEC =60°=∠BCD，

∴ BC//DE，

∴∠CBE=∠DEO，

∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.

故④正確.

⑤過C作于M，于N，

∵△ACD△BCE，

∴，BE=AD，

∴

∴CM=CN，

∴OC平分∠AOE，故⑤正確；

故答案為①③④⑤.