Question

【題目】如圖，是等邊的邊 上一點，是延長線上一點，連接交于，過點作于點．證明下列結論：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）由等邊△ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根據直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可證得AG=AD；
（2）首先過點D作DH∥BC交AC于點H，證得△ADH是等邊三角形，又由CE=DA，可利用AAS證得△DHF≌△ECF，繼而可得DF=EF；
（3）由△ABC是等邊三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得S△ADG=S△HDG，又由△DHF≌△ECF，即可證得S△DGF=S△ADG+S△ECF．

證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，
∴AG=AD；
（2）過點D作DH∥BC交AC于點H，

∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴DH=AD，
∵AD=CE，
∴DH=CE，
在△DHF和△ECF中，

∴△DHF≌△ECF（AAS），

∴DF=EF

（3）∵△ABC是等邊三角形，DG⊥AC，
∴AG=GH，
∴S△ADG=S△HDG，
∵△DHF≌△ECF，
∴S△DHF=S△ECF，
∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF．