Question

【題目】如圖1，對稱軸為直線x=的拋物線經過B（2，0）、C（0，4）兩點，拋物線與x軸的另一交點為A

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為第一象限內拋物線上的一點，設四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；

（3）如圖2，若M是線段BC上一動點，在x軸是否存在這樣的點Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6；（3）Q（，0）或Q（，0）．

【解析】試題分析：（1）由對稱軸的對稱性得出點A的坐標，由待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S，化簡后是一個關于S的二次函數，求最值即可；

（3）畫出符合條件的Q點，只有一種，①利用平行相似得對應高的比和對應邊的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；兩方程式組成方程組求解并取舍．

試題解析：（1）由對稱性得：A（﹣1，0），設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2），把C（0，4）代入：4=﹣2a，a=﹣2，∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），∴拋物線的解析式為： ；

（2）如圖1，設點P（m， ），過P作PD⊥x軸，垂足為D，∴S=S梯形+S△PDB=，∴S==，∵﹣2＜0，∴S有最大值，則S大=6；

（3）存在這樣的點Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形，理由是：

分以下兩種情況：

①當∠BQM=90°時，如圖2：

∵∠CMQ＞90°，∴只能CM=MQ．

設直線BC的解析式為：y=kx+b，把B（2，0）、C（0，4）代入得： ，解得： ，∴直線BC的解析式為：y=﹣2x+4，，∴直線BC的解析式為：y=﹣2x+4，設M（m，﹣2m+4），則MQ=﹣2m+4，OQ=m，BQ=2﹣m，在Rt△OBC中，BC===，∵MQ∥OC，∴△BMQ∽BCO，∴，即，∴BM== ，∴CM=BC﹣BM== ，∵CM=MQ，∴﹣2m+4= ，m==，∴Q（，0）．

②當∠QMB=90°時，如圖3：

設M（a，﹣2a+4），過A作AE⊥BC，垂足為E，則AE的解析式為： ，則直線BC與直線AE的交點E（1.4，1.2），設Q（﹣x，0）（x＞0），∵AE∥QM，∴△ABE∽△QBM，∴①，由勾股定理得： ②，由①②得： =4（舍），=，當a=時，x=，∴Q（，0）．

綜上所述，Q點坐標為（，0）或（，0）．