Question

（2013•濟南）如圖1，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=67.5°，△ABD和△ABC關于AB所在的直線對稱，點M為邊AC上的一個動點（重合），點M關于AB所在直線的對稱點為N，△CMN的面積為S．
（1）求∠CAD的度數；
（2）設CM=x，求S與x的函數表達式，并求x為何值時S的值最大？
（3）S的值最大時，過點C作EC⊥AC交AB的延長線于點E，連接EN（如圖2），P為線段EN上一點，Q為平面內一點，當以M，N，P，Q為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出所有滿足條件NP的長．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形性質和三角形內角和定理求出∠CAB，根據軸對稱求出∠DAB即可；
（2）求出AN=AM=4-x，根據三角形面積公式求出即可；
（3）根據勾股定理求出MN，MO、NO，EA，EN，分為三種情況：①當以MN為對角線時，此時P在E上，此時NP=NE，②以MN為一邊時，以N為圓心，以MN為半徑畫弧交NE于P，此時MN=NP；③以MN為一邊時，過M作MZ⊥NE于Z，則PZ=NZ，證△ENO∽△MNZ，求出ZN=

2

5

5

，得出NP=2ZN．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠ABC=67.5°，
∴∠ACB=∠ABC=67.5°，
∴∠CAB=180°-67.5°-67.5°=45°，
∵△ABD和△ABC關于AB所在的直線對稱，
∴∠DAB=∠CAB=45°，
∴∠CAD=45°+45°=90°．

（2）由（1）知：AN⊥AM，
∵點M、N關于AB所在直線對稱，
∴AM=AN，
∵CM=x，
∴AN=AM=4-x，
∴S=

1

2

×CM×AN=

1

2

x（4-x），
∴S=-

1

2

x²+2x，
∴當x=-

2

2×(- 1 2 )

=2時，S有最大值．

（3）∵CE⊥AC，
∴∠ECA=90°，
∵∠CAB=45°，
∴∠CEA=∠EAC=45°，
∴CE=AC=4，
在Rt△ECA中，AC=EC=4，由勾股定理得：EA=

42+42

=4

2

，
∵AM=AN，∠CAB=∠DAB，
∴AO⊥MN，MO=NO，
在Rt△MAN中，AM=AN=4-2=2，由勾股定理得：MN=

22+22

=2

2

，
∴MO=NO=

2

，
由勾股定理得：AO=

22-( 2 )2

=

2

，
∴EO=4

2

-

2

=3

2

，
在Rt△EON中，EO=3

2

，MO=

2

，由勾股定理得：EM=

(3 2 )2+( 2 )2

=2

5

，
分為三種情況：①當以MN為對角線時，此時P在E上，即NP=NE=2

5

；

②以MN為一邊時，以N為圓心，以MN為半徑畫弧交NE于P，

此時NP=MN=2

2

；
③以MN為一邊時，

過M作MZ⊥NE于Z，則PZ=NZ，
∵AO⊥MN，
∴∠EON=∠MZN=90°，
∵∠ENO=∠MNZ，
∴△ENO∽△MNZ，
∴

EN

MN

=

NO

ZN

，
∴

2 5

2 2

=

2

ZN

，
∴ZN=

2

5

5

，
∴NP=2ZN=

4

5

5

，
即所有滿足條件NP的長是2

5

或2

2

或

4

5

5

．

點評：本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質和判定，軸對稱性質，菱形的性質，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．