Question

將一副三角板，按下列要求擺放：
（1）如圖1．固定等腰直角三角板ABC，AO⊥BC，點O為垂足，另一個直角三角板DEF的直角頂點D與點O重合．現讓三角板DEF繞點O旋轉，保證DF，DE分別交AB、AC于點M、N．試探求AN：BM的值．
（2）交換兩塊三角板的位置（如圖2）．固定直角三角板ABC，AO⊥BC，點O為垂足，另一個等腰直角三角板DEF的直角頂點D于點O重合，DF、DE分別交AB、AC于點M、N，AN：BM的值又會如何變化？
（3）通過上述操作與探求，試想如果將三角板換成任意直角三角形，那么AN：BM的值有規律可循嗎？

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠OAN=∠B=45°；
又∵∠BOM=∠AON=90°-∠AOM，
∴△MBO≌△NAO，
∴AN：BM=1：1=1．

（2）Rt△ABC中，AO⊥BC，則∠NAO=∠MBO，
又∵∠BOM=90°-∠AOM，
∠AON=90°-∠AOM
∴∠BOM=∠AON
∴△MBO∽△NAO，
∴AN：BM=AO：BO=tan∠B=tan30°=；

（3）通過上述操作與探求，試想如果將三角板換成任意直角三角形，那么AN：BM的值有規律可循，比值不變仍舊是tanB的值．
分析：（1）此題可通過證三角形的全等來求解；在△BOM和△AON中，由于△ABC是等腰直角三角形，易得OA=OB，∠OAN=∠B=45°，而∠BOM、∠AON是同角的余角，由此可證得兩個三角形全等，即AN、BM的比例關系為1．
（2）此題思路和（1）相同，只不過全等換成了相似，AO：OB=1：1換成了AO：OB=1：；
（3）通過上述操作與探求，試想如果將三角板換成任意直角三角形，那么AN：BM的值有規律可循，比值不變仍舊是tanB．證明思路和（2）一樣．
點評：此題主要考查了全等三角形以及相似三角形的判定和性質以及銳角三角函數值，難度不大．