Question

【題目】如圖①，正方形ABCD，點E，F分別在AB，CD上，DG⊥EF于點 H．

（1）求證：DG＝EF；

（2）在圖①的基礎上連接AH，如圖②，若 AH＝AD，試確定DF與 CG的數量關系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，作∠FEK＝45°，點 K在 BC邊上，如圖③，若AE＝KG＝2，求EK的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DF＝2GC；（3）.

【解析】

（1）過點F作FM⊥AB于點M，由題意可證MF=BC=CD，∠BEF=∠DFE=∠DGC，即可證△EFM≌△GDC，即可得EF=DG；

（2）過點A作AM⊥DG于點M，過點C作CN⊥DG于點N．由題意可證△ADM≌△DCN，可得DM=CN=DH，由題意可證△DFH∽△DGC，可得＝2，即可得DF=2CG

（3）過點F作FM⊥AB，連接MK，FK，由題意可證Rt△EMF≌Rt△GCD，可求EM=GC，由AM=DF=2GC，可得GC=EM=2，則可證點E，點F，點K，點M四點共圓，可得∠EMF=∠EKF=90°，可證△BEK≌△CKF，可得CK=BE=4，BM=2=BK，根據勾股定理可求EK的長．

（1）證明：過點F作FM⊥AB于點M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，AB∥CD

∵FM⊥AB，∠B=∠C=90°

∴四邊形BCFM是矩形

∴MF=BC

即MF=CD

∵EF⊥DG，

∠C=90°

∴∠CDG+∠DGC=90°，∠CDG+∠DFE=90°

∴∠DGC=∠DFE

∵AB∥CD

∴∠BEF=∠EFD

∴∠BEF=∠DGC，且MF=CD，∠EMF=∠C=90°

∴△EFM≌△GDC（AAS）

∴EF=GD

（2）DF=2GC

過點A作AM⊥DG于點M，過點C作CN⊥DG于點N．

∵CN⊥DG，∠ADC=90°

∴∠ADG+∠GDC=90°，∠GDC+∠NCD=90°

∴∠ADG=∠DCN

∵AD=AH，AM⊥DG

∴MD=MH=DH，

∵AD=CD，∠AMD=∠CND=90°，∠ADG=∠NCD

∴△ADM≌△DCN（AAS）

∴MD=NC

即DH=2NC

∵∠DGC=∠DFE，∠DHF=∠DCG=90°

∴△DFH∽△DGC

∴＝2

∴DF=2GC

（3）如圖：過點F作FM⊥AB，連接MK，FK，

∵FM⊥AB，∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°

∴四邊形ADFM是矩形，四邊形BCFM是矩形

∴DF=AM，AD=MF=BC=CD，

∵EF=DG，MF=CD

∴Rt△EMF≌Rt△GCD（HL）

∴GC=EM

∵DF=2GC

∴AM=2GC=2EM

∴AE=EM=2=CG

∴DF=4=CK

∴BK=BM

∴∠BMK=∠BKM=45°

∴∠FMK=45°

∵∠FMK=∠FEK=45°

∴點E，點F，點K，點M四點共圓

∴∠EMF=∠EKF=90°

∴∠FEK=∠EFK=45°

∴EK=FK，

∵∠BEK+∠EKB=90°，∠FKC+∠EKB=90°

∴∠FKC=∠BEK，且∠B=∠C=90°，EK=FK

∴△BEK≌△CKF（AAS）

∴CK=BE=4

∴BM=2=BK

∴EK=.