Question

【題目】二次函數y=（x﹣1）2+k分別與x軸、y軸交于A、B、C三點，點A在點B的左側，直線y=﹣ x+2經過點B，且與y軸交于點D．
（1）如圖1，求k的值；

（2）如圖2，在第一象限的拋物線上有一動點P，連接AP，過P作PE⊥x軸于點E，過E作EF⊥AP于點F，過點D作平行于x軸的直線分別與直線FE、PE交于點G、H，設點P的橫坐標為t，線段GH的長為d，求d與t的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過點G作平行于y軸的直線分別交AP、x軸和拋物線于點M、T和N，tan∠MEA= ，點K為第四象限拋物線上一點，且在對稱軸左側，連接KA，在射線KA上取一點R，連接RM，過點K作KQ⊥AK交PE的延長線于Q，連接AQ、HK，若∠RAE﹣∠RMA=45°，△AKQ與△HKQ的面積相等，求點R的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：在一次函數y=﹣ x+2中，令y=0，得：0=﹣ x+2，

解得x=3，

∴B（3，0）．

令x=0得y=2，

∴D（0，2）．

將B（3，0），代入y=（x﹣1）2+k得：4+k=0，

∴k=﹣4．

（2）解：如答圖1所示：

∵PE⊥x軸，EF⊥AP，

∴∠PEA=∠EFA=90°

∵∠PEF+∠FEA=90°，∠PAE+∠FEA=90°

∴∠PEF=∠PAE．

∵DH∥x軸 HE⊥x軸

∴∠HDO=∠DOE=∠PEO=90°

∴四邊形DOEH為矩形．

∴HE=2．

∴ = ，

∴ = ．

∴d=2t﹣6．（t＞3）．

（3）解：∵∠TGH=∠GTE=∠TEH=90°，

∴GHET為矩形．

∴GH=d=ET=2t﹣6．

∵tan∠MEB= ，

∴ = ，

∴MT=3t﹣9．

∵ = ．

∴ = ，

解得t=4．

∴P（4，5）．

∴AT=AE﹣ET=t+1﹣（2t﹣6）=7﹣t=3．

∴M（2，3）

把x=2代入y=x2﹣2x﹣3中，得N（2，﹣3）

∴MT=TN=AT，∠MAT=90°．

∵∠RAE﹣∠RMA=45°，

∴∠RAE﹣45°=∠RMA，

∴∠RAM=∠RMA，

∵S△AKQ=S△HKQ，作HW⊥KQ．

∴AK∥HW，AK=HW，

∴四邊形AKWH是矩形，

∴∠RAH=∠HAK=90°，

∴∠RAM=∠HAN．

∵A（﹣1，0），H（4，2），N（2，﹣3），

∴AH=HN= ，

∴∠HAN=∠HNA=∠RAM=∠RMA．

又∵AM=AN，

∴△RAM≌△HAN，

∴AR=AH．

過R作RL⊥x軸，

∴∠RLA=∠AEH=90°，

∵∠RAL+∠HAE=90，∠HAE+∠AHE=90，

∴∠RAL=∠AHE，

∴△ARL≌△AHE．

∴RL=AE=5，AL=HE=3

∴R（﹣3，5）．

由∠RAM﹣∠RMA=45°可知∠RAV=∠RVA，∠RMT=∠HAE，tan∠RMT=tan∠HAE= ，V（ ，0），

直線MR的解析式為y= x﹣2，直線AK的解析式為y=﹣ x﹣ ，

交點R（﹣ ， ）．

【解析】（1）先求出一次函數與兩坐標軸的交點B、D的坐標，再將點B的坐標代入二次函數解析式即可求得k的值。
（2）根據已知PE⊥x軸，EF⊥AP，得出∠PEA=∠EFA=90°，再根據同角的余角相等，證得∠PEF=∠PAE．根據矩形的性質得出HE=2．然后利用三角形函數的定義得出線段成比例，建立方程，可求出d與t的函數關系式及x的取值范圍。
（3）利用（2）中求得的函數關系式，根據矩形的性質及三角函數的定義先求出點P和點M的坐標，由MN平行y軸，因此將x=2代入二次函數解析式，即可求得點N的坐標，即可得出MT=TN=AT，添加輔助線作HS⊥KQ．去證明四邊形AKSH是矩形，推出∠RAM=∠HAN，再證明△RAM≌△HAN，得出AR=AH．過R作RL⊥x軸，易正明△ARL≌△AHE．得出RL=AE=5，AL=HE=3，可得到點R的坐標，再求出直線MR的解析式和直線AK的解析式，即可求出兩直線的交點R的坐標。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．