Question

【題目】如圖1，二次函數y=-x2+2x+3的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，頂點為D．

（1）寫出A、B、D三點的坐標；

（2）若P（0，t）（t＜-1）是y軸上一點，Q（-5，0），將點Q繞著點P順時針方向旋轉90°得到點E．當點E恰好在該二次函數的圖象上時，求t的值；

（3）在（2）的條件下，連接AD、AE．若M是該二次函數圖象上一點，且∠DAE=∠MCB，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（3，0），D（1，4）；（2）所求t的值為-2；（3）M(，)或M（4，-5）．

【解析】

（1）y=-x2+2x+3，令x=0，則y=3，令y=0，則x=3或-1，即可求解；
（2）△EPH≌△PQO（AAS），則EH=OP=-t，HP=OQ=5，E（-t，5+t），當點E恰好在該二次函數的圖象上時，有5+t=-t2-2t+3，即可求解；
（3）分點M在x軸上、點M在x軸兩種情況，分別求解即可．

（1）y=-x2+2x+3，令x=0，則y=3，令y=0，則x=3或-1，
故：A（-1，0），B（3，0），D（1，4）；

（2）如圖1，過點E作EH⊥y軸于點H，

∵∠PQO+∠OPQ=90°，

∠OPQ+∠HPE=90°，

∴∠HPE=∠PQO，

由旋轉知，PQ=PE，

∴△EPH≌△PQO(AAS)，

∴EH=OP=-t，

HP=OQ=5

∴E（-t，5+t）

當點E恰好在該二次函數的圖象上時，

有5+t=-t2-2t+3

解得t1=-2，t2=-1（由于t＜-1所以舍去），

故所求t的值為-2；

（3）設點M（a，-a2+2a+3）

①若點M在x軸上方，

如圖2，過點M作MN⊥y軸于點N，過點D作DF⊥x軸于點F．

∵∠EAB=∠OCB=45°，

∠DAE=∠MCB

∴∠MCN=∠DAF

∴△MCN∽△DAF，

∴，

∴，a2=0（舍去），

∴M(，) ；

②若點M在x軸下方，

用同樣的方法得M（4，-5），

綜上所述，M(，)或M（4，-5）．