Question

【題目】如圖：AB是⊙O的直徑，AC交⊙O于G，E是AG上一點，D為△BCE內心，BE交AD于F，且∠DBE=∠BAD．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）求證：DF=DG；

（3）若∠ADG=45°，DF=1，則有兩個結論：①ADBD的值不變；②AD－BD的值不變，其中有且只有一個結論正確，請選擇正確的結論，證明并求其值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）正確的結論：AD﹣BD的值不變，證明見解析，AD﹣BD=.

【解析】試題分析：（1）根據三角形內心的性質得出∠DBC=∠DBE，進而根據已知求得∠DBC=∠BAD，根據圓周角定理即可證得從而求得AB⊥BC，證得結論；
（2）連接，根據圓內接四邊形外角的性質得出由三角形外角的性質求得證得 進而求得 由三角形內心的性質得出 然后根據AAS證得△DEF≌△DEG,從而證得
（3）在AD上截取DH=BD，連接BH、BG，證得是等腰直角三角形，得出然后證得△ABH∽△GBD，得出求得即可求得

試題解析：(1)證明：∵D為△BCE內心，

∴∠DBC=∠DBE，

∵∠DBE=∠BAD.

∴∠DBC=∠BAD，

∵AB是的直徑，

∴

∴

∴

即

∴AB⊥BC，

∴BC是的切線；

(2)證明：如圖1，連接DE，

∵∠DBC=∠BAD，∠DBC=∠DBE，

∴∠DBE=∠BAD，

∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE，

∴∠BFD=∠ABD，

∵∠DGC=∠ABD，

∴∠BFD=∠DGC，

∴∠DFE=∠DGE，

∵D為△BCE內心，

∴∠DEG=∠DEB，

在△DEF和△DEG中

，

∴△DEF≌△DEG(AAS)，

∴DF=DG；

(3)ADBD的值不變；

如圖2，在AD上截取DH=BD，連接BH、BG，

∵AB是直徑，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴∠AHB=∠BDG，

∵∠BAD=∠BGD，

∴△ABH∽△GBD，

∴

∵DG=1，

∴

∵ADBD=ADDH=AH，

∴