Question

【題目】已知二次函數y＝a（x﹣1）2+k的圖象與x軸交于A，B兩點，AB＝4，與y軸交于C點，E為拋物線的頂點，∠ECO＝135°．

（1）求二次函數的解析式；

（2）若P在第四象限的拋物線上，連接AE交y軸于點M，連接PE交x軸于點N，連接MN，且S△EAP＝3S△EMN，求點P的坐標；

（3）過直線BC上兩點P，Q（P在Q的左邊）作y軸的平行線，分別交拋物線于N，M，若四邊形PQMN為菱形，求直線MN的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P坐標為（1+，﹣2）；（3）無答案.

【解析】

（1）根據二次函數解析式確定出對稱軸為直線x＝1，由A、B關于直線x＝1對稱且AB＝4求得A、B坐標，由∠ECO＝135°得到C的縱坐標為k1，把A、C坐標代入函數解析式即求得a、k的值;

（2）根據點A、E的坐標證全等可得點M是AE的中點，又△AMN與△EMN以AM、EM為底時高相等，即面積相等；由S△EAP＝3S△EMN可得△NAP與△AMN面積相等，且有公共底邊AN，所以高相等，進而得到點P的縱坐標為2，代入拋物線解析式即求出P的橫坐標;

（3）由于直線BC上y隨x的增大而減小，由條件“四邊形PQMN為菱形”可得M、N必須在直線BC的同側，其菱形必須在y軸右側．設點P橫坐標為p，點Q橫坐標為p＋t，則可用p、t表示M、N的坐標并把PN、PQ、MQ表示出來，根據菱形性質PN＝PQ＝MQ列得關于p、t的方程組，求解后討論解是否合理即求出點P坐標．

解：（1）過點E作ED⊥y軸于點D，如圖1

∴∠CDE＝90°

∵二次函數y＝a（x﹣1）2+k的圖象對稱軸為直線x＝1

∴xE＝1，yE＝k，即DE＝1，OD＝k

∵點A、B關于直線x＝1對稱，AB＝4

∴A（﹣1，0），B（3，0）

∵∠ECO＝135°

∴∠DCE＝45°

∴CD＝DE＝1

∴OC＝OD﹣CD＝k﹣1，即yC＝k﹣1

把點A（﹣1，0），C（0，k﹣1）代入二次函數解析式得：

解得：

∴二次函數的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3

（2）過P作PF⊥x軸于點F，如圖2

∵A（﹣1，0），E（1，4）

∴OA＝DE＝1，OD＝4

在△AOM與△EDM中，

，

∴△AOM≌△EDM（AAS）

∴AM＝EM，OM＝DM＝OD＝2

∴S△AMN＝S△EMN

∵S△EAP＝3S△EMN

∴S△NAP＝S△EAP﹣S△AMN﹣S△EMN＝3S△EMN﹣2S△EMN＝S△EMN＝S△AMN

∴PG＝OM＝2

∵點P在第四象限

∴yP＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣2

解得：x1＝，x2＝（舍去）

∴點P坐標為（，﹣2）

（3）∵四邊形PQMN為菱形

∴PQ∥MN，PN＝PQ＝MQ＝MN

∴點M、N必須同時在直線BC的上方或下方

過點P作PH⊥QM于點H，如圖3

∵B（3，0），C（0，3）

∴直線BC解析式為y＝﹣x+3，y隨x的增大而減小

∴PQ不可能在y軸左側

設P（p，﹣p+3），Q（p+t，﹣p﹣t+3）（p＞0，t＞0）

∴PH＝t，HQ＝﹣p+3﹣（﹣p﹣t+3）＝t

∴PQ＝

∵點M、N在二次函數y＝﹣x2+2x+3圖象上

∴N（p，﹣p2+2p+3），M（p+t，﹣（p+t）2+2（p+t）+3）

∴PN＝|﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）|＝|﹣p2+3p|，

MQ＝|﹣（p+t）2+2（p+t）+3）﹣（﹣p﹣t+3）|＝|﹣p2﹣2pt﹣t2+3p+3t|

且兩絕對值號里的式子同正同負

∴﹣p2+3p＝﹣p2﹣2pt﹣t2+3p+3t＝

解得：，（舍去）,

（舍去），（舍去），

∴﹣p+3＝

∴點P坐標為（，）.