Question

【題目】某藥廠銷售部門根據市場調研結果，對該廠生產的一種新型原料藥未來兩年的銷售進行預測，并建立如下模型：設第t個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），P與t之間存在如圖所示的函數關系，其圖象是函數P＝（0＜t≤8）的圖象與線段AB的組合；設第t個月銷售該原料藥每噸的毛利潤為Q（單位：萬元），Q與t之間滿足如下關系：當0＜t≤12時，Q＝2t+8；當12＜t≤24時，Q＝﹣t+44．

（1）當8＜t≤24時，求P關于t的函數解析式；

（2）設第t（0＜t≤24）個月銷售該原料藥的月毛利潤為W（單位：萬元）

①求W關于t的函數解析式；

②該藥廠銷售部門分析認為，336≤W≤513是最有利于該原料藥可持續生產和銷售的月毛利潤范圍，求此范圍所對應的月銷售量P的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】（1）P＝t+2；（2）①當0＜t≤8時，W＝240；當8＜t≤12時，W＝2t2+12t+16；當12＜t≤24時，W＝﹣t2+42t+88；②P的最小值為12噸，最大值為19噸

【解析】

（1）利用待定系數法求解即可；

（2）根據銷售利潤＝銷售量×每噸利潤，分段列出月毛利潤W（元）與月份t之間的函數關系式即可；

（3）根據函數的增減性求得336≤W≤513時t的取值范圍，即可求得對應的月銷售量P的最小值和最大值．

解：（1）當8＜t≤24時，設 P＝kx+b，

將（8，10），（24，26）代入得:，

解得，

故當8＜t≤24時，P關于t的函數解析式為：P＝t+2；

（2）①當0＜t≤8時，W＝（2t+8）×＝240；

當8＜t≤12時，W＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16；

當12＜t≤24時，W＝（﹣t+44）（t+2）＝﹣t2+42t+88；

②當8＜t≤12時，W＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2，

∴8＜t≤12時，W隨t的增大而增大，

當2（t+3）2﹣2＝336時，

解得t＝10或t＝﹣16（舍去），

當t＝12時，W取得最大值，最大值為448，

故當10≤t≤12時，336≤W≤448；

當12＜t≤24時，W＝﹣t2+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529，

∴當t＝12時，W取得最小值448，

由﹣（t﹣21）2+529＝513，得t＝17或t＝25（舍去），

∴當12＜t≤17時，448＜W≤513；

∴當10≤t≤17時，336≤W≤513，

當t＝10時，P＝t+2＝12，當t＝17時，P＝t+2＝19，

∴此范圍所對應的月銷售量P的最小值為12噸，最大值為19噸．