Question

【題目】已知拋物線C：y＝ax2﹣2ax+3開口向下．

（1）當拋物線C過點（1，4）時，求a的值和拋物線與y軸的交點坐標；

（2）求二次函數y＝ax2﹣2ax+3的對稱軸和最大值（用含a的式子表示）；

（3）將拋物線C向左平移a個單位得到拋物線C1，隨著a的變化，拋物線C1頂點的縱坐標y與橫坐標x之間存在一個函數關系，求這個函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（4）記（3）所求的函數為D，拋物線C與函數D的圖象交于點M，結合圖象，請直接寫出點M的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣1，（0，3）；（2）對稱軸為x＝1，最大值為﹣a+3；（3）y＝x+2（x＞1）；（4）3＜yM＜4

【解析】

（1）將（1，4）代入解析式求出a的值，將x＝0代入解析式求出y的值可得其與y軸的交點坐標；

（2）將函數解析式配方成頂點式即可得出答案；

（3）由題意得出平移后的拋物線C1解析式為y＝a（x﹣1+a）2﹣a+3，據此得出拋物線C1頂點坐標為（1﹣a，﹣a+3），即x＝1﹣a，y＝﹣a+3，求出x﹣y即可得出答案；

（4）由拋物線C和函數D的解析式得出分別過定點（2，4）、（2，3），結合函數圖象可得答案．

解：（1）拋物線C：y＝ax2﹣2ax+3過點（1，4），

∴a﹣2a+3＝4，

解得a＝﹣1，

當x＝0時，y＝3，即拋物線與y軸的交點為（0，3）；

（2）∵y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3，拋物線有最高點，

∴二次函數y＝ax2﹣2ax+3的對稱軸為x＝1，最大值為﹣a+3；

（3）∵拋物線C：y＝a（x﹣1）2﹣a+3，

∴平移后的拋物線C1：y＝a（x﹣1+a）2﹣a+3，

∴拋物線C1頂點坐標為（1﹣a，﹣a+3），

∴x＝1﹣a，y＝﹣a+3，

∴x﹣y＝1﹣a+a﹣3＝﹣2，

即x﹣y＝﹣2，

∴y＝x+2，

∵a＜0，a＝1﹣x，

∴1﹣x＜0，

∴x＞1，

∴y與x的函數關系式為y＝x+2（x＞1）；

（4）如圖，

在y＝x+2中，當x＝2時，y＝4，即直線y＝x+2橫過點（2，4），

在y＝ax2﹣2ax+3中，當x＝2時，y＝4a﹣4a+3＝3，即拋物線y＝ax2﹣2ax+3橫過點（2，3），

所以由圖象知，拋物線C與函數D的圖象交點M縱坐標的取值范圍為3＜yM＜4．