Question

【題目】中，三個內角的平分線交于點.過點作，交邊于點.

（1）如圖1，

①若，則___________，_____________；

②猜想與的關系，并說明你的理由：

（2）如圖2，作外角的平分線交的延長線于點.若，，求的度數.

Answer 1

【答案】（1）①，；②，見解析；（2）.

【解析】

（1）①根據三角形的內角和得到∠BAC+∠BCA=180°-40°=140°，根據角平分線的定義得到∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=70°，根據三角形的內角和即可得到結論；

②設∠ABC=α，根據三角形的內角和和角平分線的定義即可得到結論；

（2）根據角平分線的定義和三角形外角的性質即可得到結論．

（1）①∵∠ABC=40°，

∴∠BAC+∠BCA=180°-40°=140°，

∵△ABC中，三個內角的平分線交于點O，

∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=70°，

∴∠AOC=180°-70°=110°，

∵OB平分∠ABC，

∴∠ABO=∠ABC=20°，

∵OD⊥OB，

∴∠BOD=90°，

∴∠BDO=70°，

∴∠ADO=110°，

故答案為：110°，110°，

②相等，理由設∠ABC=α，

∴∠BAC+∠BCA=180°-α，

∵△ABC中，三個內角的平分線交于點O，

∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=90°-α，

∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=90°+α，

∵OB平分∠ABC，

∴∠ABO=∠ABC=α，

∵OD⊥OB，

∴∠BOD=90°，

∴∠BDO=90°-α，

∴∠ADO=180°-∠BOD=90°+α，

∴∠AOC=∠ADO；

（2）由（1）知，∠ADO=∠AOC=105°，

∵BF平分∠ABE，CF平分∠ACB，

∴∠FBE=∠ABE，∠FCB=∠ACB，

∴∠FBE=∠F+∠FCB=（∠BAC+∠ACB）=∠BAC+∠FCB，

∴∠BAC=2∠F=64°，

∴∠DAO=∠BAC=32°，

∴∠AOD=180°-∠ADO-∠DAO=43°．