Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O交斜邊AC于點D，過圓心O作OE∥AC，交BC于點E，連接DE．

（1）判斷DE與⊙O的位置關系并說明理由；

（2）求證：2DE2=CDOE；

（3）若tanC=，DE=，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）DE是⊙O的切線，理由見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】（1）先判斷出DE=BE=CE，得出∠DBE=∠BDE，進而判斷出∠ODE=90°，即可得出結論；

（2）先判斷出△BCD∽△ACB，得出BC2=CDAC，再判斷出DE=BC，AC=2OE，即可得出結論；

（3）先求出BC，進而求出BD，CD，再借助（2）的結論求出AC，即可得出結論．

（1）DE是⊙O的切線，理由：如圖，

連接OD，BD，∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∵OE∥AC，OA=OB，

∴BE=CE，

∴DE=BE=CE，

∴∠DBE=∠BDE，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∵點D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線；

（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，

∴△BCD∽△ACB，

∴，

∴BC2=CDAC，

由（1）知DE=BE=CE=BC，

∴4DE2=CDAC，

由（1）知，OE是△ABC是中位線，

∴AC=2OE，

∴4DE2=CD2OE，

∴2DE2=CDOE；

（3）∵DE=，

∴BC=5，

在Rt△BCD中，tanC=，

設CD=3x，BD=4x，根據勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，

∴x=-1（舍）或x=1，

∴BD=4，CD=3，

由（2）知，BC2=CDAC，

∴AC=，

∴AD=AC-CD=-3=．