Question

進入三月以來，重慶的氣溫漸漸升高，羽絨服進入了銷售淡季．為此重慶某百貨公司對某品牌的A款羽絨服進行了清倉大處理．已知A款羽絨服的銷售價格y元與第x天（1≤x≤10，且為整數）之間的關系可用如下表表示：

時間（x天）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
售價y（元/件）	550	500	450	400	350	300	300	300	300	300

在銷售的前6天，A款羽絨服的銷售數量z₁（件）與第x天的關系式為z₁=20x+40（1≤x≤6且為整數）；后4天（7≤x≤10，且為整數）的銷售數量z₂件與第x天的關系如圖所示
（1）請觀察題中表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出y與x之間的函數關系式，根據如圖所示的變化趨勢，直接寫出z₂與x之間的一次函數關系式．
（2）若A款羽絨服的進價為每件200元，該專柜共有5個員工，每位員工每天的工資為100元，該專柜每天所需的固定支出為1000元，請結合上述信息，求這10天內哪天的利潤最大，并求出這個最大利潤．
（3）在第（2）問的前提下，為了提高收益、減少庫存，商場在第11天作出以下決定：第11-15天繼續維持A款羽絨服的售價，結果每天的銷售量均與第10天的持平，同時在第11-15天將B款羽絨服也作為促銷商品，而且作為銷售重點，已知B款羽絨服的進價仍為200元每件，銷售價格比A款羽絨服取得最大利潤當天的售價降低了a%，而每天銷售量則比第10天A款羽絨服的銷量提高了2a%，最后5天A、B兩款羽絨服的總利潤為27100元，請你參考以下數據，計算出a的值．
參考數據：2.5²=6.25，2.6²=6.76，2.7²=7.29，2.8²=7.84．

Answer 1

分析：（1）根據表格數據，可得出y與x的函數關系式，設z₂=kx+b，將點（7，80），（10，20）代入可得出z₂與x的函數關系式；
（2）利用二次函數及一次函數的性質，分別得出當1≤x≤6時，7≤x≤10時利潤的最大值，比較即可得出答案；
（3）根據最后5天A、B兩款羽絨服的總利潤為27100元，可列出方程，解出即可估算出a的值．

解答：解：（1）當1≤x≤6時，y=-50x+600
當7≤x≤10時，y=300；
故可得y=

-50x+600(1≤x≤6) 300(7≤x≤10)

；
當7≤x≤10時，z₂=kx+b，
將點（7，80），（10，20）代入可得

7k+b=80 10k+b=20

，
解得：

k=-20 b=220

故z₂=-20x+220；
（2）當1≤x≤6時，
w=（-50x+600-200）（20x+40）-1000-500
=-1000x²+6000x+14500
=-1000（x-3）²+23500，
當x=3時，w取得最大，w_最大=23500；
當7≤x≤10時，
w=（300-200）（-20x+220）-1000-500
=-2000x+20500
因為-2000＜0，所以w隨x的增大而減小
所以當x=7時，w取得最大，w_最大=6500，
綜上所述，第3天利潤最大，最大利潤為23500元．
（3）由題意得，5{20×（300-200）+[450（1-a%）-200]•20（1+2a%）-1500}=27100，
令a%=t，
整理得：18t²-t-0.08=0，
△=6.76，
解得：t=≈

1+2.6

36

=0.1或t=≈

1-2.6

36

（不合題意，舍去）
所以a=10．

點評：本題考查了二次函數的應用，涉及了待定系數法求函數解析式及分段函數的知識，解答本題的關鍵是要求同學們熟練掌握配方法求二次函數最值得應用，難度較大．