Question

四條線段的長分別為9，5，x，1（其中x為正實數），用它們拼成兩個直角三角形，且AB與CD是其中的兩條線段（如圖），則x可取值得個數共有

6

個．

Answer 1

分析：首先過B作BE∥CD交AD的延長線于E，根據題意即可得BE=CD，DE=BC，∠E=90°，可得AB是最長邊，長為9或x，然后由勾股定理可得AB²=（AD+DE）²+BE²=（AD+BC）²+CD²，然后分別從AB=x，CD為9或5或1；AB=9，CD=x或5或1去分析求解，即可求得答案．

解答：解：過B作BE∥CD交AD的延長線于E，
根據題意得：BE=CD，DE=BC，∠E=90°，
∴AB²=（AD+DE）²+BE²=（AD+BC）²+CD²，
∵∠ADC=∠C=90°，
∴AB是最長邊，長為9或x，
若AB=x，CD=9，則x=

117

=3

13

；
若AB=x，CD=5，則x=

125

=5

5

；
若AB=x，CD=1，則x=

197

；
若AB=9，CD=x，則x=

45

=3

5

；
若AB=9，CD=5，則x=

81-25

-1=2

14

-1；
若AB=9，CD=1，則x=

81-1

-5=4

5

-5．
故答案為6．

點評：此題考查了勾股定理的應用與相似三角形的知識．此題難度很大，解題的關鍵是注意數形結合思想，方程思想與分類討論思想的應用，小心別漏解．